De schoonheid van getallen

De rij van Fibonacci is genoemd naar de Italiaanse wiskundige Leonardo van Pisa, bijgenaamd Fibonacci, die de rij noemt in zijn boek Liber abaci uit 1202. De rij blijkt interessante eigenschappen en verbanden te bezitten met onder andere de gulden snede.

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 
1597 2584 4181 6765 10946 ... enzovoort.

De rij van Fibonacci begint met 0 en 1 en de vervolggetallen zijn de som van de twee voorgaande getallen in de reeks. bv. 3 + 5 = 8

Helemaal links staan de oplopende getallen uit de Fibonaccireeks en de beroemde astronoom Johannes Kepler ontdekte in 1611 dat als deze getallen worden gedeeld door het voorgaande getal, de uitkomst steeds meer het gulden getal phi benadert (φ ≈ 1,6180339887… ).

Ratio    Waarde
1/1     1,0000
2/1     2,0000
3/2     1,5000
5/3     1,6667
8/5     1,6000
13/8    1,6250
21/13    1,6154
34/21    1,6109
55/34    1,6177
89/55    1,6182
144/89   1,6180

De Fibonaccireeks zit vol met eigenaardigheden. Ik noem er een paar: elke optelsom van tien opeenvolgende getallen uit de reeks is deelbaar door elf en om de zestig getallen herhaalt het laatste cijfer in het getal. Een heel bijzondere eigenschap is dat de deling tussen een getal en het voorgaande getal in de reeks al snel de gulden snede benadert en in het oneindige er exact gelijk aan is. De gulden snede is ongeveer 1,6180 en het drukt een harmonieuze verhouding uit in de vormen. Wanneer twee lijnstukken zich verhouden als de gulden snede, dan verhoudt het grootste deel zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. De gulden snede komt als een verhouding vaak voor in de natuur en in de lichaamsbouw, bijvoorbeeld in de verhouding tussen het menselijke boven- en onderbeen: de verhouding tussen de lengte het hele been en het bovenbeen is hetzelfde als de verhouding tussen de lengtes van het boven- en onderbeen. Ook in de verhoudingen tussen de vingerbotjes en delen van bloemen zoals bloemblaadjes, zaden en kelkbladeren vindt men de gulden snede terug. In de kunst wordt de gulden snede veel gebruikt voor volmaakte verhoudingen.

De getallen van de Fibonaccireeks zijn in het bovenstaande figuur grafisch uitgezet als vierkanten die als rechthoeken in elkaar passen. De twee diagonalen snijden de zijdes van de vierkanten met de verhouding van de gulde snede in twee delen. De wiskundige Pickover stelde voor het snijpunt van de twee diagonalen het Oog van God te noemen.

In het figuur kan een spiraal worden getrokken en de vorm van deze spiraal zien we overal terug in de natuur op onverwachte plaatsen: in de vorm van slakkenhuizen, meteorologische depressies, sterrenstelsels en in beroemde schilderijen. Ook het aantal spiralen volgt de Fibonaccireeks. Als je bijvoorbeeld goed kijkt naar de verdeling van de zonnebloemzaden in een zonnebloem, kun je spiralen zien waarvan sommige met de klok meedraaien en sommige tegen de klok in lopen. De grootte van de zonnebloem bepaalt het aantal spiralen. Meestal tel je 34 spiralen die de ene kant op wijzen en (je raadt het al) 55 die de andere kant op wijzen. Bestudeer eens een bloemkool van de bovenkant. Als je goed kijkt, kun je hier ook een spiralenpatroon zien (meestal 5 met de klok mee en 8 tegen de klok in). Ook de rangschikking van blaadjes rond de stengel van een plant volgt vaak de Fibonaccireeks. De blaadjes zitten niet allemaal aan dezelfde kant van een stengel, maar staan spiraalsgewijs om de stengel. Het aantal blaadjes per omloop volgt de Fibonaccireeks, bijvoorbeeld per omwenteling om de stam staan twee blaadjes (1/2) of acht blaadjes per drie omwentelingen.

Jeroen Visbeek, januari 2016